중심극한정리(Central Limit Theorem)의 정의입니다.

중심극한정리(Central Limit Theorem)의 정의입니다.
- 평균이 μ이고 분산이 σ^2인 임의의 모집단에서 n개의 표본을 추출할 경우 n이 충분히 크다면(n ≥30), 모집단의 확률분포형태와 상관없이 표본평균(X ̅)의 확률분포는 평균=E(X ̅)=μ이고, 표준편차=σ(X ̅)=σ/√n인 정규분포에 근사하며, n이 무한대로 커지면 정규분포와 일치하게 됨
- 따라서 정규분포를 따르는 확률변수 X ̅ 를 표준정규분포의 확률변수로 변환한 Z=(X ̅-μ)/(σ/√n)는 근사적으로 N(0,1)인 표준정규분포를 따르게 됨
※본 정의에서 표본평균(X ̅)는 많은 독립 확률변수들의 합으로 간주할 수 있음

 

본문내용

중심극한정리는 확률론과 통계학 분야에 있어 매우 중요한 정리중의 하나이며, 프랑스의 수학자 라플라스(Pierre Simon, Marquis de Laplace)에 의해 알려지고 증명된 이론입니다. 라플라스는 수많은 작은 수치들의 합으로 간주할 수 있는 측정오차 등이 정규분포에 근사한다는 것을 기반으로 중심극한정리를 유도하였습니다. 간단히 중심극한정리란 많은 독립 확률변수들의 합이 근사적으로 정규분포를 따르는 것을 의미합니다.
다음은 중심극한정리(Central Limit Theorem)의 정의입니다.
- 평균이 μ이고 분산이 σ^2인 임의의 모집단에서 n개의 표본을 추출할 경우 n이 충분히 크다면(n ≥30), 모집단의 확률분포형태와 상관없이 표본평균(X ̅)의 확률분포는 평균=E(X ̅)=μ이고, 표준편차=σ(X ̅)=σ/√n인 정규분포에 근사하며, n이 무한대로 커지면 정규분포와 일치하게 됨
- 따라서 정규분포를 따르는 확률변수 X ̅ 를 표준정규분포의 확률변수로 변환한 Z=(X ̅-μ)/(σ/√n)는 근사적으로 N(0,1)인 표준정규분포를 따르게 됨
※본 정의에서 표본평균(X ̅)는 많은 독립 확률변수들의 합으로 간주할 수 있음

3. 로또 당첨번호 분석을 통한 중심극한정리 이해
지금부터는 로또 당첨번호의 각 회별 평균값을 계산하여 표본평균을 구한 다음, 중심극한정리가 이 표본평균의 분포에도 적용되는지 살펴보겠습니다. 먼저 로또 당첨번호의 히스토그램을 작성하여 분포 형태를 파악한 후, 또 다시 표본평균의 히스토그램을 작성하여 분포형태를 살펴보는 방식으로 진행합니다.
가) 먼저 아래 화면과 같이 1회부터 200회까지의 로또 당첨번호를 엑셀에 입력합니다.

(표본 수의 증가를 위하여 보너스번호도 포함하였습니다.)