中心極限定理 central limit theorem 다수의 우연현상의 극한적 성질을 설

中心極限定理 central limit theorem 다수의 우연현상의 극한적 성질을 설명하는 확률론의 정리. 확률변수 의 확률분포가 이항분포 라 하면,

는 베르누이의 대수의 법칙에 의해 이 클 때 예외적인 경우를 제외하고 거의 0에 가깝다. 그러나 를 으로 나누는 대신에 으로 나눈 것에 대해서는 다음 정리가 있다.

라고 하면 의 확률분포는 이 충분히 클 때 정규분포 (0, 1)에 가깝다. 즉 임의의 실수 ()에 대하여

가 성립한다. 이 정리를 라플라스의 정리 또는 드 무아브르-라플라스의 정리라고 한다. 이것은 베르누이의 대수의 법칙을 실용적인 형태로까지 확장한 것이다. 라플라스 정리에서의 이항분포의 가정을 제외해도 같은 형태의 다음 정리가 성립한다. 확률변수 이 독립이고 각 는 평균값이 , 분산이 인 동일 확률분포를 갖는다고 한다. 이때

이라 하면,

의 분포는, 이 충분히 클 때에는 정규분포 (0, 1)에 가깝다. 이상과 같은 중심극한정리는 여러 방향으로 확장되나, 이들 일련의 정리도 중심극한정리로 불리고 있다.